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柯西施瓦茨不等式是什么?怎么写?

提问于: 10-21-2021
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柯西-施瓦茨不等式内容

对于所有向量 \(\mathbf{a}\)\(\mathbf{b}\) \(\in \mathbb{R}^n\),有:

\[ \Vert \mathbf{a} + \mathbf{b} \Vert \leq \Vert \mathbf{a} \Vert\Vert \mathbf{b} \Vert \]

证明

\[ \begin{align*} \Vert \mathbf{a} + \mathbf{b} \Vert^2 &= (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a}+\mathbf{b}) \\ &= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a}+2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \\ &\leq \mathbf{a} \cdot \mathbf{a}+2\Vert \mathbf{a}\Vert\Vert\mathbf{b}\Vert+\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \\ &= \Vert \mathbf{a} \Vert^2+2\Vert \mathbf{a}\Vert\Vert\mathbf{b}\Vert+\Vert\mathbf{b}\Vert^2 \\ &= (\Vert \mathbf{a} \Vert+\Vert \mathbf{b} \Vert)^2 \end{align*} \]
回答于:10-21-2021
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