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三种纯量积公式怎么写的?

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三重标量积等式:

设向量\(\mathbf{a}\)\(\mathbf{b}\)\(\mathbf{c}\) \(\in \mathbb{R^3}\),则:

\[ |(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}| = |(\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \cdot \mathbf{a}| = |(\mathbf{c \times a}) \cdot \mathbf{b}| \]

三重标量积最终的结果是一个非负实数

几何意义

本质上,该等式是由平行六面体体积的计算公式推导出来的。以向量\(\mathbf{a}\)\(\mathbf{b}\)\(\mathbf{c}\) \(\in \mathbb{R^3}\)互为临边的平行六面体的体积等于:

\[ \begin{align*} V &= \Vert \mathbf{a} \times \mathbf{b} \Vert \Vert \mathbf{c} \Vert | \cos \theta| \\ &= |(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}| \end{align*} \]
  • \(\Vert \mathbf{a} \times \mathbf{b} \Vert\)表示平行六面体底面积
  • \(\Vert \mathbf{c} \Vert | \cos \theta|\)表示平行六面体高
  • \(\theta\)是边\(\mathbf{c}\)与底面间的夹角

又因平行六面体三个面都可以计算其体积,且体积相等,所以得出上面的三重纯量积等式。

坐标公式

若已知三个向量的坐标:

  • \(\mathbf{a}= a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k}\)
  • \(\mathbf{b}=b_1\mathbf{i}+b_2\mathbf{j}+b_3\mathbf{k}\)
  • \(\mathbf{c}=c_1\mathbf{i}+c_2\mathbf{j}+c_3\mathbf{k}\)

则:

\[ (\mathbf{a} \times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \]

证明:

\[ \begin{align*} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= (a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k}) \times (b_1\mathbf{i}+b_2\mathbf{j}+b_3\mathbf{k}) \\ &= (a_2b_3-a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1-a_1b_3)\mathbf{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\mathbf{k} \end{align*} \]

详见向量的叉乘。令\(\mathbf{g}=\mathbf{a} \times \mathbf{b}\),则:

\[ \begin{align*} \mathbf{g} \cdot \mathbf{c} &= [(a_2b_3-a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1-a_1b_3)\mathbf{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\mathbf{k}] \cdot (c_1\mathbf{i}+c_2\mathbf{j}+c_3\mathbf{k}) \\ &=[(a_2b_3-a_3b_2), (a_3b_1-a_1b_3),(a_1b_2-a_2b_1)] \cdot (c_1,c_2,c_3) \\ &= a_2b_3c_1-a_3b_2c_1 + a_3b_1c_2-a_1b_3c_2+a_1b_2c_3-a_2b_1c_3 \end{align*} \]

参考向量內积/点乘

另对于行列式:

\[ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \]

我们写成:

\[ \begin{array}{ccc|cc} a_1 & a_2 & a_3 & a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_1 & b_2\\ c_1 & c_2 & c_3 & c_1 & c_2 \end{array} \]

根据对角线法(参考:矩阵行列式怎么求):

\[ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} =a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-a_1b_3c_2-a_2b_1c_3 \]

由此得证。

10-21-2021
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