created:10-20-2021
views:122
0

向量的叉乘公式是什么,要如何计算?

asked 8 months, 2 weeks ago
user image wiki
添加评论
评论需要先登录哦o( ̄ε ̄*)
0

向量的叉乘

英文名:cross product

定义

若有向量 \(\mathbf{a}\)\(\mathbf{b}\) 属于\(\mathbb{R}^3\) (即 \((x,y,z)\) 的形式,必须),则向量 \(\mathbf{a}\)\(\mathbf{b}\) 的叉乘记为 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\),叉乘的结果是一个新的向量。

从几何意义上来看,这个新的向量有两个特点:

  • \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\)的模(大小)等于以向量 \(\mathbf{a}\)\(\mathbf{b}\) 为临边的平行四边形的面积。即:
\[ \Vert \mathbf{a} \times \mathbf{b} \Vert = \Vert \mathbf{a} \Vert \Vert \mathbf{b} \Vert\sin \theta \]

\(\theta\)\(\mathbf{a}\)\(\mathbf{b}\)间的夹角

  • \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\)获得的向量的方向既垂直于\(\mathbf{a}\)又垂直于\(\mathbf{b}\)

性质

设有三个向量\(\mathbf{a}\)\(\mathbf{b}\)\(\mathbf{c}\) 属于\(\mathbb{R}^3\), 且有\(k \in \mathbb{R}\),则:

  1. \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}=-\mathbf{b} \times \mathbf{a}\) (反交换性)
  2. \(\mathbf{a} \times (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a} \times \mathbf{b} +\mathbf{a} \times \mathbf{c}\) (分配律)
  3. \((\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times \mathbf{c}=\mathbf{a} \times \mathbf{c} + \mathbf{b}\times \mathbf{c}\)(分配律)
  4. \(k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})=(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b}=\mathbf{a} \times (k\mathbf{b})\)
  5. 如果 \(\mathbf{a} \perp \mathbf{b}\),则 \(\Vert \mathbf{a} \times \mathbf{b} \Vert = \Vert \mathbf{a} \Vert \Vert \mathbf{b} \Vert\)

注意:

\[ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \neq (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} \]

坐标方程

首先说明:\(\mathbf{i}\)\(\mathbf{j}\)\(\mathbf{k}\)分别为xyz坐标轴上的单位向量,即\((1,0,0)\)\((0,1,0)\)\((0,0,1)\)

则有:

  • \(\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}\)
  • \(\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}\)
  • \(\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}\)

注意顺序,因为根据性质1,逆序的结果符号相反。

例1

  • \(\mathbf{a}=a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}\)
  • \(\mathbf{b}=b_1\mathbf{i}+b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k}\)

\[ \begin{align*} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= (a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}) \times (b_1\mathbf{i}+b_2\mathbf{j} + +b_3\mathbf{k}) \\ &= (a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}) \times b_1\mathbf{i}+(a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}) \times b_2\mathbf{j}+(a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}) \times b_3\mathbf{k} \\ &= a_1b_1 \mathbf{i} \times \mathbf{i} + a_2b_1 \mathbf{j} \times \mathbf{i} + a_3b_1 \mathbf{k} \times \mathbf{i} + a_1b_2 \mathbf{i} \times \mathbf{j} + \mathbf{i} + a_2b_2 \mathbf{j} \times \mathbf{j}+\mathbf{i} + \\ &\mathrel{\phantom{=}} a_3b_2 \mathbf{k} \times \mathbf{j} +\mathbf{i} + a_1b_3 \mathbf{i} \times \mathbf{k} + a_2b_3 \mathbf{j} \times \mathbf{k} + a_3b_3 \mathbf{k} \times \mathbf{k} \\ \end{align*} \]

根据上面叉乘的性质以及单位向量之间叉乘的关系,可化简得:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3-a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1-a_1b_3)\mathbf{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\mathbf{k} \]

对角线法求叉乘

由于上述叉乘的一般求法太过于费时间,并借助矩阵的知识,例1中的结果可写成:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}\mathbf{i}- \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix}\mathbf{j}+ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}\mathbf{k}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \]

再借鉴3×3矩阵的行列式的对角线求法就会方便很多。

参考

Colley S J. Vector calculus[J]. 2011.

10-20-2021
添加评论
评论需要先登录哦o( ̄ε ̄*)
添加回答