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向量的內积怎么计算?

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向量內积

向量的內积(inner product),又称欧几里得內积(Euclidean inner product),或点乘(dot product)。

定义

有向量 \(\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)\)\(\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)\) 属于 \(\mathbb{R}^3\),则两个向量的內积/点乘为 \(\mathbf{a \cdot b}\)

\[ \mathbf{a \cdot b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 \]

相似地,在 \(\mathbb{R}^2\)中的定义是:

\[ \mathbf{a \cdot b}=a_1b_1+a_2b_2 \]

在几何意义上,若有向量 \(\mathbf{a}\)\(\mathbf{b}\),且两者间夹角为 \(\theta\), 则內积/点乘 \(\mathbf{a \cdot b}\) 为:

\[ \mathbf{a \cdot b} = \| \mathbf{a} \| \, \| \mathbf{b} \| \, \cos \theta \]

內积/点乘的性质

有向量 \(\mathbf{a}\)\(\mathbf{b}\)\(\mathbf{c}\) 属于 \(\mathbb{R}^3\) (或 \(\mathbb{R}^2\)),\(k \in \mathbb{R}\), 则:

  1. \(\mathbf{a \cdot a} \geq 0\),且当且仅当 \(\mathbf{a}=\mathbf{0}\) 时,\(\mathbf{a \cdot a}=0\)
  2. \(\mathbf{a \cdot b} = \mathbf{b \cdot a}\)
  3. \(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b}+\mathbf{c}) =\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}\)
  4. \((k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b}=k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})=\mathbf{a} \cdot (k \mathbf{b})\)
10-17-2021
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