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求逆矩阵的方法

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求逆矩阵

若矩阵\(\mathbf{A}\)可逆,则\(|\mathbf{A}| \neq 0\),且:

\[ \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{|\mathbf{A}|}\mathbf{A^*} \]

\(\mathbf{A}^{-1}\)逆矩阵

\(|\mathbf{A}|\):矩阵\(\mathbf{A}\)行列式

\(\mathbf{A^*}\):矩阵\(\mathbf{A}\)伴随矩阵

求逆矩阵的前提

在求逆矩阵前,需先求矩阵的行列式,只有\(\mathbf{|A|} \neq 0\)才能够算逆矩阵。

2 × 2矩阵

正常求法

对于简单的2×2矩阵,不需要特殊的方法来求逆矩阵,可以直接求:

\[ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \]

方法就是将原矩阵的“正对角线”上的元素互换位置,然后将"负对角线"上的元素加上-号,实际上就是伴随矩阵,最后除以原矩阵的行列式\((ad-bc)\)

待定系数法

该法是利用逆矩阵与原矩阵的关系——两者乘积为单位矩阵,即\(\mathbf{AA^{-1}}\)=\(\mathbf{A^{-1}A}\) = \(\mathbf{I}\)

假设:

\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} , \mathbf{A^{-1}} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]

则:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

有:

\[ \begin{align} a + 2c &= 1 \\ b + 2d &= 0 \\ 3a +4c & = 0 \\ 3b + 4d &= 1 \end{align} \]

解得: a=-4, b = 1, c = 3, d = -1/2,

即:

\[ \mathbf{A^{-1}}=\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \]

3 x 3 及以上

3 x 3及以上的矩阵求逆稍微复杂一些,要用到一些特殊的方法。

\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \]

正常求法

按定义,可使用行列式和伴随矩阵来求,虽然稍微麻烦一点。

先求行列式:

\[ |\mathbf{A}| = 10 \]

不为0,所以可以求逆矩阵。

求伴随矩阵:

\[ \mathbf{A^{\ast}}= \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -2 & 3 & 10 \\ 2 & -3 & 0 \end{bmatrix} \]

因此

\[ \mathbf{A^{-1}}= \begin{bmatrix} 0.2 & 0.2 & 0 \\ -0.2 & 0.3 & 1 \\ 0.2 & -0.3 & 0 \end{bmatrix} \]

高斯-约旦法求逆矩阵

该法的核心思路就是:把任意一个可逆的矩阵\(\mathbf{A}\)与单位矩阵\(\mathbf{I}\)组合成\([\mathbf{A}|\mathbf{I}]\)的形式,然后想尽办法将左侧的\(\mathbf{A}\)通过行操作变成单位矩阵的形式,这个过程中右侧的\(\mathbf{I}\)部分是跟着变的,且最后变成了\(\mathbf{A^{-1}}\)。即最后的结果是\([\mathbf{I}|\mathbf{A^{-1}}]\)

例:

\(\mathbf{A^{-1}}\), 首先写成如下形式:

\[ [\mathbf{A}|\mathbf{I}]= \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 3 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \]

经过一系列行变换,可以是:

  • 交换行的位置
  • 将某一行所有元素乘以或除以一个常数
  • 将某行加或减x倍的另一行

最后,可以转换成如下形式:

\[ \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0.2 & 0.2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -0.2 & 0.3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0.2 & -0.3 & 0 \\ \end{array} \right] =[\mathbf{I}|\mathbf{A^{-1}}] \]

右侧即是我们要求的逆矩阵,即

\[ \mathbf{A^{-1}} = \begin{bmatrix} 0.2 & 0.2 & 0 \\ -0.2 & 0.3 & 1 \\ 0.2 & -0.3 & 0 \end{bmatrix} \]
10-12-2021
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