求逆矩阵
若矩阵\(\mathbf{A}\)可逆，则\(|\mathbf{A}| \neq 0\)，且：
\[
\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{|\mathbf{A}|}\mathbf{A^*}
\]
\(\mathbf{A}^{-1}\)：逆矩阵
\(|\mathbf{A}|\)：矩阵\(\mathbf{A}\)的行列式
\(\mathbf{A^*}\)：矩阵\(\mathbf{A}\)的伴随矩阵
求逆矩阵的前提
在求逆矩阵前，需先求矩阵的行列式，只有\(\mathbf{|A|} \neq 0\)才能够算逆矩阵。
2 × 2矩阵
正常求法
对于简单的2×2矩阵，不需要特殊的方法来求逆矩阵，可以直接求：
\[
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}^{-1}
= \frac{1}{ad-bc}
\begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{bmatrix}
\]
方法就是将原矩阵的“正对角线”上的元素互换位置，然后将"负对角线"上的元素加上-号，实际上就是伴随矩阵，最后除以原矩阵的行列式\((ad-bc)\)。
待定系数法
该法是利用逆矩阵与原矩阵的关系——两者乘积为单位矩阵，即\(\mathbf{AA^{-1}}\)=\(\mathbf{A^{-1}A}\) = \(\mathbf{I}\)
假设：
\[
\mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix} ,
\mathbf{A^{-1}} =
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
\]
则：
\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\]
有：
\[
\begin{align}
a + 2c &= 1 \\
b + 2d &= 0 \\
3a +4c & = 0 \\
3b + 4d &= 1
\end{align}
\]
解得：
a=-4, b = 1, c = 3, d = -1/2,
即：
\[
\mathbf{A^{-1}}=\begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{bmatrix}
\]
3 x 3 及以上
3 x 3及以上的矩阵求逆稍微复杂一些，要用到一些特殊的方法。
\[
\mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 2 \\
2 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\]
正常求法
按定义，可使用行列式和伴随矩阵来求，虽然稍微麻烦一点。
先求行列式：
\[
|\mathbf{A}| = 10
\]
不为0，所以可以求逆矩阵。
求伴随矩阵：
\[
\mathbf{A^{\ast}}=
\begin{bmatrix}
2 & 2 & 0 \\
-2 & 3 & 10 \\
2 & -3 & 0
\end{bmatrix}
\]
因此
\[
\mathbf{A^{-1}}=
\begin{bmatrix}
0.2 & 0.2 & 0 \\
-0.2 & 0.3 & 1 \\
0.2 & -0.3 & 0
\end{bmatrix}
\]
高斯-约旦法求逆矩阵
该法的核心思路就是：把任意一个可逆的矩阵\(\mathbf{A}\)与单位矩阵\(\mathbf{I}\)组合成\([\mathbf{A}|\mathbf{I}]\)的形式，然后想尽办法将左侧的\(\mathbf{A}\)通过行操作变成单位矩阵的形式，这个过程中右侧的\(\mathbf{I}\)部分是跟着变的，且最后变成了\(\mathbf{A^{-1}}\)。即最后的结果是\([\mathbf{I}|\mathbf{A^{-1}}]\)。
例：
求\(\mathbf{A^{-1}}\)， 首先写成如下形式：
\[
[\mathbf{A}|\mathbf{I}]=
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
3 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\]
经过一系列行变换，可以是：
- 交换行的位置
- 将某一行所有元素乘以或除以一个常数
- 将某行加或减x倍的另一行
最后，可以转换成如下形式：
\[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 0.2 & 0.2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -0.2 & 0.3 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0.2 & -0.3 & 0 \\
\end{array}
\right]
=[\mathbf{I}|\mathbf{A^{-1}}]
\]
右侧即是我们要求的逆矩阵，即
\[
\mathbf{A^{-1}} =
\begin{bmatrix}
0.2 & 0.2 & 0 \\
-0.2 & 0.3 & 1 \\
0.2 & -0.3 & 0
\end{bmatrix}
\]
