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求矩阵的伴随矩阵。

提问于: 10-12-2021
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求伴随矩阵

矩阵\(\mathbf{A}\)的伴随矩阵是由矩阵\(\mathbf{A}\)中每个元素的代数余子式组成的新矩阵,记为\(\mathbf{A^{\ast}}\)

举例

\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \]

先了解下什么叫代数余子式。

代数余子式

在n阶行列式中,把\((i,j)\)\(a_{ij}\)所在的第\(i\)行和第\(j\)列划去后,留下来的\(n-1\)阶行列式叫做\(a_{ij}\)余子式,计作\(M_{ij}\),而:

\[ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} \]

叫做\(a_{ij}\)代数余子式

上面的例子中,各个元素的代数余子式为:

\[ \begin{align} A_{11} &= (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} =ei-hf \\ A_{12} &= (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} =-(di-gf) \\ \vdots \\ A_{32} &= (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} a & d \\ c & f \end{vmatrix} =-(af-cd) \\ A_{33} &= (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} =df-ge \\ \end{align} \]

结果

至此得到一个矩阵,假设叫\(\mathbf{A^{x}}\)

\[ \mathbf{A^{x}}= \begin{bmatrix} ei-hf & -(di-gf) & dh-eg \\ -(bi-ch) & ai-cg & -(ah-bg) \\ bf-ce & -(af-cd) & ae-bd \end{bmatrix} \]

则将\(\mathbf{A^{x}}\)转置可得\(\mathbf{A^{\ast}}\):

\[ \mathbf{A^{\ast}}=(\mathbf{A^{x}})^T= \begin{bmatrix} ei-hf & -(bi-ch) & bf-ce \\ -(di-gf) & ai-cg & -(af-cd) \\ dh-eg & -(ah-bg) & ae-bd \end{bmatrix} \]

至此,矩阵\(\mathbf{A}\)的伴随矩阵\(\mathbf{A^{\ast}}\)就算出来了。

回答于:10-12-2021
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