求伴随矩阵
矩阵\(\mathbf{A}\)的伴随矩阵是由矩阵\(\mathbf{A}\)中每个元素的代数余子式组成的新矩阵，记为\(\mathbf{A^{\ast}}\) 。
举例
\[
\mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{bmatrix}
\]
先了解下什么叫代数余子式。
代数余子式
在n阶行列式中，把\((i,j)\)元\(a_{ij}\)所在的第\(i\)行和第\(j\)列划去后，留下来的\(n-1\)阶行列式叫做\(a_{ij}\)的余子式，计作\(M_{ij}\)，而：
\[
A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}
\]
叫做\(a_{ij}\)的代数余子式。
上面的例子中，各个元素的代数余子式为：
\[
\begin{align}
A_{11} &= (-1)^{1+1}
\begin{vmatrix}
e & f \\
h & i
\end{vmatrix}
=ei-hf \\
A_{12} &= (-1)^{1+2}
\begin{vmatrix}
d & f \\
g & i
\end{vmatrix}
=-(di-gf) \\
\vdots \\
A_{32} &= (-1)^{3+2}
\begin{vmatrix}
a & d \\
c & f
\end{vmatrix}
=-(af-cd) \\
A_{33} &= (-1)^{3+3}
\begin{vmatrix}
a & b \\
d & e
\end{vmatrix}
=df-ge \\
\end{align}
\]
结果
至此得到一个矩阵，假设叫\(\mathbf{A^{x}}\)
\[
\mathbf{A^{x}}=
\begin{bmatrix}
ei-hf & -(di-gf) & dh-eg \\
-(bi-ch) & ai-cg & -(ah-bg) \\
bf-ce & -(af-cd) & ae-bd
\end{bmatrix}
\]
则将\(\mathbf{A^{x}}\)转置可得\(\mathbf{A^{\ast}}\):
\[
\mathbf{A^{\ast}}=(\mathbf{A^{x}})^T=
\begin{bmatrix}
ei-hf & -(bi-ch) & bf-ce \\
-(di-gf) & ai-cg & -(af-cd) \\
dh-eg & -(ah-bg) & ae-bd
\end{bmatrix}
\]
至此，矩阵\(\mathbf{A}\)的伴随矩阵\(\mathbf{A^{\ast}}\)就算出来了。
