矩阵求行列式
前提
矩阵必须是方阵才能求其行列式。
符号
矩阵\(\mathbf{A}\)的行列式是\(|\mathbf{A}|\)
2 × 2 方阵
\[
\mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
\]
\[
|\mathbf{A}| = ad-bc
\]
3 × 3 方阵
\[
\mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{bmatrix}
\]
方法示例:

\[
\mathbf{|A|} = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)
\]
对角线法
对于3阶方阵,最方便的方法莫过于对角线法,其原理是,将前两列复制到矩阵的后面,然后通过如图的方式将元素沿对角线相乘然后相加减:

\[
\mathbf{|A|}=aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb
\]
与上面的结果相等。
注:仅适用于3阶方阵!
4 × 4 方阵
\[
\mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
a & b & c & d \\
e & f & g & h \\
i & j & k & l \\
m & n & o & p
\end{bmatrix}
\]
方法图示:

可见4 × 4方阵的行列式中嵌套了3 × 3行列式,按上述3 x 3行列式计算即可。
注意:
系数的正负为+-+-
的模式,即+a
、-b
、+c
、-d
,更高阶的以此类推。
如何判断的?假设\(x=行数i+列数j\),那么\((-1)^x\)决定了元素\(a_{ij}\)的正负。
三角矩阵 & 对角矩阵
求三角阵或者对角阵的行列式则很简单,只需要把对角线上的元素相乘即可:
\[
\mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & 0 & a_{33}
\end{bmatrix}
\]
\[
|\mathbf{A}|= a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}
\]
对角阵是特殊的三角阵,方法一样,结果也一样:
\[
\mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & 0 \\
0 & a_{22} & 0 \\
0 & 0 & a_{33}
\end{bmatrix}
\]
\[
|\mathbf{A}|= a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}
\]
据此,对于复杂的矩阵,以通过行操作先转化为三角矩阵,再求行列式就简单了。但需要注意以下几点:
- 如果交换一个行列式中的两行或两列,得到的行列式只在符号上不同。也就是说,如果你交换行或列,得到的行列式和原来的行列式在正负上是相反的。
- 如果将一行或一列乘以一个非零常数,行列式就会乘以同样的非零常数。
- 如果用一个非零常数乘以一行或一列,然后把它加到另一行或一列,替换那一行或一列,行列式没有变化。