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矩阵算行列式的方法。

提问于: 10-12-2021
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矩阵求行列式

前提

矩阵必须是方阵才能求其行列式。


符号

矩阵\(\mathbf{A}\)的行列式是\(|\mathbf{A}|\)


2 × 2 方阵

\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]
\[ |\mathbf{A}| = ad-bc \]

3 × 3 方阵

\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \]

方法示例:

3阶方阵求行列式

\[ \mathbf{|A|} = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg) \]

对角线法

对于3阶方阵,最方便的方法莫过于对角线法,其原理是,将前两列复制到矩阵的后面,然后通过如图的方式将元素沿对角线相乘然后相加减:

对角线法

\[ \mathbf{|A|}=aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb \]

与上面的结果相等。

注:仅适用于3阶方阵!


4 × 4 方阵

\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \end{bmatrix} \]

方法图示:

4阶方阵求行列式

可见4 × 4方阵的行列式中嵌套了3 × 3行列式,按上述3 x 3行列式计算即可。

注意:

系数的正负为+-+-的模式,即+a-b+c-d,更高阶的以此类推。

如何判断的?假设\(x=行数i+列数j\),那么\((-1)^x\)决定了元素\(a_{ij}\)的正负。


三角矩阵 & 对角矩阵

求三角阵或者对角阵的行列式则很简单,只需要把对角线上的元素相乘即可:

\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{bmatrix} \]
\[ |\mathbf{A}|= a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} \]

对角阵是特殊的三角阵,方法一样,结果也一样:

\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{bmatrix} \]
\[ |\mathbf{A}|= a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} \]

据此,对于复杂的矩阵,以通过行操作先转化为三角矩阵,再求行列式就简单了。但需要注意以下几点:

  • 如果交换一个行列式中的两行或两列,得到的行列式只在符号上不同。也就是说,如果你交换行或列,得到的行列式和原来的行列式在正负上是相反的。
  • 如果将一行或一列乘以一个非零常数,行列式就会乘以同样的非零常数。
  • 如果用一个非零常数乘以一行或一列,然后把它加到另一行或一列,替换那一行或一列,行列式没有变化。
回答于:10-12-2021
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