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逆矩阵的定义是什么?

或者说:

逆矩阵和原矩阵的关系是什么

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逆矩阵

定义

矩阵\(\mathbf{A}\)的逆是一个矩阵,假设为\(\mathbf{B}\),那么\(\mathbf{AB}=\mathbf{BA}=\mathbf{I}\)。将这样的矩阵(\(\mathbf{B}\))记为\(\mathbf{A^{-1}}\),读作“A逆”:

\[\mathbf{AA^{-1}}=\mathbf{A^{-1}A}=\mathbf{I}\]

\(\mathbf{I}\)单位矩阵

特点或性质

1)并非所有矩阵都有逆

2)一个矩阵最多只有一个逆

3)如果一个矩阵的行列式不为零,那么该矩阵是可逆的

4)如果矩阵\(\mathbf{A}\)可逆,那么线性方程\(\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\)的唯一解是\(\mathbf{x}=\mathbf{A^{-1}}\mathbf{b}\)

5)如果矩阵\(\mathbf{A}\)与非零向量\(\mathbf{x}\)的乘积为\(\mathbf{0}\) : \(\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}\),那么\(\mathbf{A}\)是不可逆的

6)可逆矩阵的乘积,如\(\mathbf{AB}\),的逆的顺序是颠倒的:

\[ (\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B^{-1}A^{-1}} \]

证明:

\[ (\mathbf{AB})(\mathbf{B^{-1}A^{-1}})=\mathbf{ABB^{-1}A^{-1}}=\mathbf{AIA^{-1}}=\mathbf{AA^{-1}}=\mathbf{I} \\ (\mathbf{B^{-1}A^{-1}})(\mathbf{AB}) = \mathbf{B^{-1}A^{-1}AB} = \mathbf{B^{-1}IB}=\mathbf{B^{-1}B}=\mathbf{I} \]

三项:

\[ (\mathbf{ABC})^{-1}=\mathbf{C^{-1}B^{-1}A^{-1}} \]

相关

逆矩阵怎么求

参考

Linear Algebra and Its Applications (4ed) , Gilbert Strang -Brooks Cole (2005)

10-11-2021
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