矩阵乘法
在进行矩阵的乘法运算前需要了解能够进行矩阵乘法的前提。
矩阵乘法的前提
假设有矩阵\(\textbf{A}\)和矩阵\(\textbf{B}\), 那么 \(\textbf{A}\)能够与\(\textbf{B}\)相乘的前提是\(\textbf{A}\)的列数等于\(\textbf{B}\)行数。
比如图中\(\textbf{A}\)有3列，那么\(\textbf{B}\)就必须有3行两者才能相乘。至于\(\textbf{A}\)的行数和\(\textbf{B}\)的列数则不影响。
即：
如果\(\textbf{A}\)为\(m \times n\)，那么\(\textbf{B}\)必须是 \(n \times p\)的形式，\(\textbf{AB}\)的结果是一个\(m \times p\)矩阵。
例1
\[
\begin{align}
\mathbf{AB} &=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21} \\
a_{12} & a_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{21} & b_{31} \\
b_{12} & b_{22} & b_{32}
\end{bmatrix} \\
&=
\begin{bmatrix}
a_{11}b_{11}+a_{21}b_{12} & a_{11}b_{21}+a_{21}b_{22} & a_{11}b_{31}+a_{21}b_{32} \\
a_{12}b_{11}+a_{22}b_{12} & a_{12}b_{21}+a_{22}b_{22} & a_{12}b_{31}+a_{22}b_{32}
\end{bmatrix} \\
\end{align}
\]
乘法结合律（√）
乘法结合律适用于矩阵乘法：
\[
\textbf{ABC}=\textbf{A(BC)}
\]
乘法交换律（×）
乘法交换律一般不适用于矩阵乘法，除非特殊情况，比如其中之一是单位矩阵。
\[
\textbf{AB} \not = \textbf{BA}
\]
比如上面的例1，如果写成\(\textbf{BA}\)，则是不可乘的，因为违背了矩阵可乘的前提。更不用说相等了。
分配律（√）
\[
\textbf{A}(\textbf{B}+\textbf{C})=\textbf{AB}+\textbf{AC}
\]
当然，是在满足可乘、且乘完后可加（具有相同的形状）的前提下才成立。
