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矩阵的乘法公式?

提问于: 10-09-2021
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矩阵乘法

在进行矩阵的乘法运算前需要了解能够进行矩阵乘法的前提。

矩阵乘法的前提

假设有矩阵\(\textbf{A}\)和矩阵\(\textbf{B}\), 那么 \(\textbf{A}\)能够与\(\textbf{B}\)相乘的前提是\(\textbf{A}\)的列数等于\(\textbf{B}\)行数。

矩阵乘法

比如图中\(\textbf{A}\)有3列,那么\(\textbf{B}\)就必须有3行两者才能相乘。至于\(\textbf{A}\)的行数和\(\textbf{B}\)的列数则不影响。

即:

如果\(\textbf{A}\)\(m \times n\),那么\(\textbf{B}\)必须是 \(n \times p\)的形式,\(\textbf{AB}\)的结果是一个\(m \times p\)矩阵。

例1

\[ \begin{align} \mathbf{AB} &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{21} & b_{31} \\ b_{12} & b_{22} & b_{32} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} a_{11}b_{11}+a_{21}b_{12} & a_{11}b_{21}+a_{21}b_{22} & a_{11}b_{31}+a_{21}b_{32} \\ a_{12}b_{11}+a_{22}b_{12} & a_{12}b_{21}+a_{22}b_{22} & a_{12}b_{31}+a_{22}b_{32} \end{bmatrix} \\ \end{align} \]

乘法结合律(√)

乘法结合律适用于矩阵乘法:

\[ \textbf{ABC}=\textbf{A(BC)} \]

乘法交换律(×)

乘法交换律一般不适用于矩阵乘法,除非特殊情况,比如其中之一是单位矩阵。

\[ \textbf{AB} \not = \textbf{BA} \]

比如上面的例1,如果写成\(\textbf{BA}\),则是不可乘的,因为违背了矩阵可乘的前提。更不用说相等了。

分配律(√)

\[ \textbf{A}(\textbf{B}+\textbf{C})=\textbf{AB}+\textbf{AC} \]

当然,是在满足可乘、且乘完后可加(具有相同的形状)的前提下才成立。

回答于:10-10-2021
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