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  • 什么是矢量微分算子
  • 梯度函数
  • 散度函数
  • 旋度函数
提问于: 04-13-2022
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矢量微分算子

矢量微分算子(vector differential operator),\(\nabla\),英文名称为“del”或者“nabla”,其在三维空间中的定义为:

\[ \nabla = \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k} \]

梯度(\(grad\))

将上述算符应用于标量场,则得到的结果是标量场的梯度(\(grad\)):

\[ grad f(x,y,z) = \nabla f(x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k} \]

散度(\(div\))

该算符与向量场\(\mathbf{F}(x,y,z)\)标量积为该向量场的散度:

\[ div \mathbf{F}(x,y,z) = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial F_2}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial F_3}{\partial z} \mathbf{k} \]

旋度(\(curl\))

该算符与矢量场\(\mathbf{F}(x,y,z)\)矢量积称为该矢量场的旋度:

\[ \begin{align*} curl \mathbf{F}(x,y,z) &= \nabla \times \mathbf{F} \\ &= (\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z})\mathbf{i} - (\frac{\partial F_3}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial z}) \mathbf{j} + (\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y})\mathbf{k} \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_1 & F_2 &F_3 \end{vmatrix} \end{align*} \]
回答于:04-13-2022
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