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拉普拉斯算子是什么?

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拉普拉斯算子

拉普拉斯算子(Laplacian)是一个微分算子(算符),是一个标量算符,由标量函数在欧几里德空间上的梯度的散度给出.

通常用\(\nabla^2\)\(\Delta\) 表示。在欧几里得空间中,拉普拉斯算子通常表示为对每个变量的二阶偏导数之和,其公式为:

\[ \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \]

举例

标量场\(f(x,y,z) = xy^2 + z^3\)的拉普拉斯函数为:

\[ \begin{align*} \nabla^2 f(x,y,z) &= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \\ &= \frac{\partial^2}{\partial x^2} (xy^2 + z^3) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} (xy^2 + z^3) + \frac{\partial^2}{\partial z^2} (xy^2 + z^3) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}y^2 + \frac{\partial}{\partial y} 2yx + \frac{\partial}{\partial z} 3z^2 \\ &= 0 + 2x + 6z \\ &= 2x + 6z \end{align*} \]
04-12-2022
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