欧几里得空间是经典几何的基础。最初仅用于表示三维空间和二维平面,在现代数学中可以用于表示任何非负整数维的空间。
欧几里得空间由点组成,这些点用坐标表示,坐标是一系列实数的元组。
简单特殊的例子:
- \(\mathbb{R^1}\):\(x\),即实数集
- \(\mathbb{R^2}\):\(x = (x_1,x_2)\) 表示平面中一个点
- \(\mathbb{R^3}\):\(x = (x_1,x_2,x_3)\) 表示3-维空间中的一个点
- ...
- \(\mathbb{R^n}\):\(x = (x_1,x_2, \cdots, x_{n-1},x_n)\)表示n-维空间中一个点
这些坐标称为柯西坐标,这种坐标既表示一个点,也可以表示一个向量,因此向量的运算方法都可以用于涉及这些坐标的计算。